Παρακαλώ χρησιμοποιήστε αυτό το αναγνωριστικό για να παραπέμψετε ή να δημιουργήσετε σύνδεσμο προς αυτό το τεκμήριο:
https://hdl.handle.net/123456789/1259| Τύπος: | Διδακτορική διατριβή |
| Τίτλος: | Categories of compact and compactly generated Hausdorff locales over a base topos |
| Εναλλακτικός τίτλος: | Κατηγορίες συμπαγών και συμπαγώς γεννώμενων Hausdorff locales επί ενός τόπου βάση |
| Συγγραφέας: | [EL] Τσάμης, Κωνσταντίνος[EN] Tsamis, Konstantinos |
| Επιβλέπων διατριβής: | [EL] Καραζέρης, Παναγής[EN] Karazeris, Panagis |
| Συμβουλευτική επιτροπή: | [EL] Τζερμιάς, Παύλος[EN] Tzermias, Pavlos [EL] Λεντούδης, Παύλος[EN] Lentoudis, Paul |
| Μέλος εξεταστικής επιτροπής: | [ES] Escardó, Martín Hötzel [EL] Γαλάτος, Νικόλαος[EN] Galatos, Nikolaos [EL] Γεωργίου, Δημήτρης[EN] Georgiou, Dimitrios [EL] Ταχτσής, Ελευθέριος[EN] Tachtsis, Eleftherios [EL] Ζαφειρίδου, Σοφία[EN] Zafiridou, Sophia |
| Ημερομηνία: | 28/12/2022 |
| Περίληψη: | This thesis is focused on the categories of compact Hausdorff locales and of compactly generated (Hausdorff) ones. Our main contributions have to do with the question of whether they share with the categories of the respective classical topological spaces the property of forming, respectively, a pretopos and a regular cartesian closed category. Locales constitute the correct substitute for topological spaces internally in toposes, where points may occur scarcely, as their existence may depend on non-constructive principles like the axiom of choice or the weaker prime ideal theorem for distributive lattices. They appear as duals of structures such as commutative rings, distributive lattices or C-algebras even when these structures lack sufficiently many prime or maximal ideals, they allow us to talk about fundamental structures like the real numbers as spaces which maintain the right properties, where their construction as Dedekind cuts or Cauchy sequence may produce nonisomorphic results in the absence of the axiom of choice. Hence we take care that all our arguments remain valid in the internal logic of a topos, meaning that we avoid using the axiom of choice or the principle of excluded middle with the sole exception of Chapter 3 which explicitly refers to categories of topological spaces. The benefits, from the point of view of classical mathematics, of such an approach are also well-known: The category of locales over a given locale is equivalent to the category of the locales internal to the topos of sheaves on the given locale, hence results about locales that are internally valid in a topos (for example our Corollary 4.2.5 and Proposition 5.1.2 in this thesis) translate to results about continuous maps over the given base. The method for developing a sufficiently rich theory of locales is algebraic. Algebraic structures have been in service of topology in various ways but we will focus on how distributive lattices and in particular frames play this role. The category of locales is by definition the one opposite to the category of frames. The latter allows us to construct categorical colimits in the category of locales (limits in the category of frames) in a simple way as in any category of algebraic structures. The main results of the thesis are presented in the last two chapters of the thesis. They include a proof that the category of compact Hausdorff locales is a pretopos and that the category of compactly generated Hausdorff locales is a regular category, provided that it is coreflective in the category of Hausdorff locales. Under the same hypothesis we show that in this category products commute with colimits, which is a necessary condition for cartesian closedness. We also investigate a possible characterization of the pretopos of compact Hausdorff locales by presenting a comparison functor from a pretopos that satisfies some extra properties to compact Hausdorff locales. This functor is faithful, full on subobjects and exact. In order to define that functor we prove first that closed quotients of compact Hausdorff locales are compact Hausdorff, generalizing the corresponding result for spaces in the localic setting. There are a few more minor results, such as an account of the functorial behaviour of the tensor product of sup-lattices, cast in terms of the concrete description of the tensor product in [24] (Propositions 1.4.1, 1.4.2). There are also new proofs of known results, primarily a proof of the regularity of the category of weakly Hausdorff compactly generated spaces (Section 2.4), and proofs in the theory of locales that use positive formulations of the involved concepts and are valid in the internal logic of a topos, where in the literature we could only find proofs involving negative formulations (for example Proposition 3.3.4). For reasons of unity and self-sufficiency of the text we have included known proofs of most known results exposed in the introductory three first chapters. We have only omitted proofs of results that are too technical and would occupy disproportionally big space in the text. Η παρούσα εργασία αναφέρεται στη θεωρία των χώρων χωρίς σημεία (locales), πιο συγκεκριμένα σε κατηγορικής φύσης ιδιότητες που παρουσιάζουν κάποιες κατηγορίες αυτών. Η δουλειά που παρουσιάζουμε εμπίπτει στον τομέα της τοπολογίας με την έννοια ότι αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα, όχι ως το σύνολο των σημείων τους, αλλά ως συλλογές ανοικτών συνόλων τις οποίες τις μελετάμε ως πλήρη επιμεριστικά δικτυωτά (πλαίσια -frames), όπου η έννοια του σημείου εμφανίζεται ως δευτερεύουσας σημασίας κάθώς η κλασική αντίληψη του καθοριστικού, για το χώρο, ρόλου τους επαφίεται στις θεμελιώδεις λογικές ή συνολοθεωρητικές αρχές τις οποίες δεχόματε. Ακριβέστερα εστιάζουμε στις κατηγορίες των συμπαγών Hausdorff locales και αυτή των συμπαγώς γεννώμενων Hausdorff locales. Η κύρια συνεισφορά μας αφορά σε ερωτήματα για το κατα πόσο οι προαναφερθείσες κατηγορίες έχουν κατηγορικές ιδιότητες που εμφανίζουν οι αντίστοιχες κατηγορίες χώρων και πιο συγκεκριμένα κατα πόσο η πρώτη είναι προτόπος και η δεύτερη ομαλή και καρτεσιανά κλειστή. ΄Ενα ερωτημα που προκύπτει με φυσικό τρόπο αφορά τη χρησιμότητα των locales έναντι των τοπολογικών χώρων, ειδικά όσον αφορά τις συγκεκριμένες κατηγορίες, για τις οποίες γνωρίζουμε ότι από κλασική άποψη είναι ισοδύναμες με τις αντίστοιχες κατηγορίες χώρων. Η απάντηση είναι ευρέως γνωστή, ειδικά σε ανθρώπους οι οποίοι μελετούν μαθηματικά θεμελιωμένα στη θεωρία των τόπων και βλέπουν τα οφέλη του να δουλεύεις τόσο μαθηματικά όσο και εφαρμογές τους στη φυσική, την πληροφορική και αλλού, σε ένα τέτοιο λογικό περιβάλλον. Τα locales αποτελούν τα σωστά αντικείμενα για να αντικαταστήσουμε τους τοπολογικούς χώρους εσωτερικά σε έναν τόπο, όπου τα σημεία είναι απλά πιθανό να μην υπάρχουν και η ύπαρξή τους μπορεί να εξαρτατάται από μη κατασκευαστικές αρχές όπως το αξίωμα επιλογής η το ασθενέστερο θεώρημα πρώτων ιδεωδών για επιμεριστικά δικτυωτά. Εμφανίζονται ως δυϊκά δομών όπως οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, τα επιμεριστικά δικτυωτά ή και οι C ∗ -άλγεβρες ακόμα και όταν η ύπαρξη αρκετών πρώτων ή μεγιστικών ιδεωδών δεν εξασφαλίζεται. Επιπρόσθετα μας επιτρέπουν να μιλάμε για θεμελιώδεις δομές όπως οι πραγματικοί αριθμοί ως χώροι που διατηρούν σημαντικές ιδιότητες ενώ στον αντίποδα είναι γνωστό πως με την απουσία του αξιώματος επιλογής οι τομές Dedekind και οι ακολουθίες Cauchy μπορούν να παράξουν μη ισόμορφα αποτελέσματα (ως προς την κατασκευή των πραγματικών αριθμών). Κατά συνέπεια φροντίσαμε όλα μας τα αποτελέσματα να ισχύουν στην εσωτερική λογική ενός τόπου, γεγονός που εξασφαλίζεται από τη μη χρήση του αξιώματος επιλογής και της αρχής του αποκλειόμενου τρίτου. Μοναδική εξαίρεση αποτελεί το Κεφάλαιο 3 το οποίο αναφέρεται αποκλειστικά σε κατηγορίες τοπολογικών χώρων. Τα οφέλη της προσέγγισής μας, έναντι της κλασικής, είναι επίσης γνωστά: Η κατηγορία των locales επί ενός δοθέντος locale (κατηγορία τομή -slice category) είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των locales εσωτερικά στον τόπο των δραγμάτων (sheaves) του δοθέντος locale και κατα συνέπεια αποτελέσματα που αφορούν locales και είναι συνεπή με τη λογική ενός τόπου (για παράδειγμα το αποτέλεσμά μας Θεώρημα 5.2.4) μεταφράζονται σε αποτελέσματα που αφορούν συνεχείς απεικονίσεις επί δεδομένης βασης. Η μέθοδος για την ανάπτυξη μίας αρκετα πλούσιας θεωρίας για τα locales είναι αλγεβρική. Αλγεβρικές δομές υπηρετούν τοπολογικούς σκοπούς με δίαφορους τρόπους αλλά εμείς θα εστιάσουμε στο πώς τα επιμεριστικά δικτυωτά και πιο συγκεκριμένα τα πλαίσια το επιτυγχάνουν αυτό. Η κατηγορία των locales είναι εξ ορισμού η δυϊκή κατηγορία αυτής των πλαισίων. Η τελευταία μας επιτρέπει να κατασκευάζουμε συνόρια στην κατηγορία των locales (όρια στην κατηγορία των πλαισίων) με απλό τρόπο, όπως σε όλες τις αλγεβρικές κατηγορίες. Η κατασκευή των ορίων στην κατηγορία των locales (συνόρια στην κατηγορία των πλαισίων) είναι, ως συνήθως συμβαίνει σε αλγεβρικές κατηγορίες, πιο περίπλοκη διαδικασία και απαιτεί να επιστρατευθούν βοηθητικές κατηγορίες όπως αυτή των άνω-πλήρων δικτυωτών (sup-lattices) ή αυτή των προ-πλαισίων (preframes) όπου και στις δύο ορίζεται μια κατάλληλη έννοια τανυστικού γινομένου που χρησιμεύει στην κατεύθυνση αυτή. Επιπλέον εργαλείο για την ανάπτυξη της θεωρίας είναι η έννοια του πυρήνα επί ενός πλαισίου, μία έννοια η οποία προσδιορίζει υποαντικείμενα της κατηγορίας των locales (αντίστοιχα με τους υποχώρους ενός τοπολογικού χώρου). Η συλλογή των πυρήνων επι ενός πλαισίου επιδέχεται επίσης δομή πλαισίου και το πέρασμα από ένα πλαίσιο στο πλαίσιο των πυρήνων επί αυτού είναι συναρτητική διαδικασία. |
| Γλώσσα: | Αγγλικά |
| Τόπος δημοσίευσης: | Patras, Greece |
| Σελίδες: | 107 |
| Θεματική κατηγορία: | [EL] Άλγεβρα και Θεωρία αριθμών[EN] Algebra and Number Theory |
| Λέξεις-κλειδιά: | Category Theory; Topos Theory; Locales; Frames; Compact Hausdorff Locale; Compactly Generated Hausdorff Locale; Regular Category; Exact Category; Pretopos; Topos of Sheaves |
| Κάτοχος πνευματικών δικαιωμάτων: | © 2022 Konstantinos Tsamis. All rights reserved. |
| Διατίθεται ανοιχτά στην τοποθεσία: | https://hdl.handle.net/10889/24499 |
| Σημειώσεις: | This research is co-financed by Greece and the European Union (European Social FundESF) through the Operational Programme Human Resources Development, Education
and Lifelong Learning in the context of the project “Strengthening Human Resources Research Potential via Doctorate Research - 2nd cycle” (MIS-5000432), implemented by the
State Scholarships Foundation (IKY). Σχετικη Δημοσιευση - https://cahierstgdc.com/wp-content/uploads/2021/07/Karazeris-Tsamis_LXII-3.pdf |
| Εμφανίζεται στις συλλογές: | Υποψήφιοι διδάκτορες |
Αρχεία σε αυτό το τεκμήριο:
Το πλήρες κείμενο αυτού του τεκμηρίου δεν διατίθεται προς το παρόν από το αποθετήριο